確率の問題がわからなくなる(2) ― 2020/01/22 23:00:00
きのうの続きである。
2. 箱の中に「い」と書かれたカードが 1 枚，「ろ」と書かれたカードが 2 枚、「は」と書かれたカードが 2 枚の合計 5 枚のカードが入っている。同時に 2 枚のカードを取り出すとき，書かれた文字が異なる確率は 4/5 である。
2. を見て、実際の計算がわからなくなってしまった。確率を計算するときに、分母分子で計算すべき数は、組み合わせだろうか、それとも順列だろうか、と悩んでしまった。えい、組み合わせだろうと勝手に思い込んで計算することにした。
5 枚のカードは書かれている文字にかかわらず区別しないといけない。そうすると、5 つのものから 2 つをとる組み合わせの数となり、(5*4)/(2*1) = 10 である。ここまではいいだろう。
そのうち、2枚のカードが同じとなる組み合わせはどうか。カードには 1 から 5 までの番号が振られていて、1-「い」、2-「ろ」、3-「ろ」、4-「は」、5-「は」の対応関係があるとする。そうすると、カードが'同じ'となるのは2-3の組み合わせと4-5の組み合わせだけだ。つまり2とおり、ということになる。
よって 2 枚のカードが同じとなる確率は 2/10 = 1/5 である。ということは 2 枚のカードの書かれた文字が異なる確率は 1 - 1/5 = 4/5 である。だから命題は正しい。 （さらにつづく）
確率の問題がわからなくなる(1) ― 2020/01/21 23:00:00
大学入試センター試験第２日の問題と正解が新聞紙面にあったので考えてみた。数学 I 、数学 A の第３問（選択問題）である。４つある命題から正しいものを２つ選ぶというものである。最初の２命題を掲げる。
0. １枚のコインを投げる試行を 5 回繰り返すとき， 少なくとも 1 回は表が出る確率を p とすると，p > 0.95 である。
1. 袋の中に赤球と白球が合わせて 8 個入っている。 球を 1 個取り出し，色を調べてから袋に戻す試行を行う。 この試行を 5 回繰り返したところ赤球が 3 回出た。 したがって，1 回の試行で赤球が出る確率は 3/5 である。
コインの問題と球の問題である。私に言わせれば、コインの表と裏が出る確率はともに 1/2 であるとか、球の取り出し方は同様に確からしい、とか言明をしておくべきものだ。このあたり、論理国語の推進をいう前に、現在ある問題でも十分訓練を積むことができるはずだ。
さて、0. であるが、すぐに計算ができなかった。p を計算するには、裏ばかりが 5 回出る確率を計算すればよい。それを計算するために、2、4、8、16、32 と勘定した。そして、1/32 は 1/20 （=0.05） より小さいことは計算せずにわかった。ならばこの命題は正しい、と結論づけた。以上の推論で、余事象の考え方を適当につかっている。
次に 1. であるが、この「したがって」の意味がわからない。よって、確率は求められず、命題は誤っている、と結論づけた。これもまあいいだろう。
以上の結果をセンターから公表されている解答と照らした。結果は私の解答どおりだった（つづく）。
書棚の本を考える ― 2019/04/05 23:43:47
円周率を考える ― 2019/03/14 19:02:18
知人のウェブページを読み直す ― 2019/03/12 21:55:19
辛い日を迎える ― 2019/03/11 20:11:09
バビンスキー反射を思い出す ― 2019/01/31 18:59:18
知り合いのＡさんにお子さんが生まれた。Ａさんはお子さんの足の裏を棒でこすって、お子さんの足が反るのを観察していた。この一部始終を見ていたＢさんが「あ、バビンスキー反射ですね」とつぶやいた。Ａさんは驚いて「よくご存じで。どんなお仕事を？」と聞くとＢさん「医者です」
ミの音の周波数を計算する(3) ― 2019/01/10 23:00:00
きのうの記事は大誤りだった。反省する。
さて、440Hzのラの音の上のミの音は何Hzか。純正律なら660Hzちょうどである。
平均律なら１オクターブを2倍の12等分の7倍、つまり、440 を27/12倍した周波数である。
この 27/12の値を出そうと思って久しぶりに関数電卓をたたいたのだが、使い方で往生した。
少し考えてみた。まず、27=128 は暗算で出せるので、これに√キーを2回、3√キーを1回作用させればいい。この通りたたいたら、値が 1.4983071 と表示された。これに440をかければ、659.25511 と出る。これが660との差である。
この差のために、音楽関係者は悩んできた。純正律による響きの美しさをとるか、平均律による転調の展開を尊重するか。
こんな簡単にまとめたらあちこちから石礫がとんでくるだろうが、まあご容赦を。
ところで、最初はlog7とかlog11とかを出す話を前振りにしていたのはこういう理由だ。 まず、4407/12を筆算だけで、すなわちコンピュータや関数電卓を使わずに出すにはどうすればよいか、ということを考えていたからだ。 Aの周波数に442ではなく440を使ったのも、440は2*2*2*5*11と分解が進むからだ。素因数は11以外は2と5とだけですみ、log2とlog5はわかっている。一方、442 の素因数分解は 2*221となり、 log221 を求めなければならない。こちらを出すほうがlog11を出すほうよりもずっと難しい。では、11の常用対数はどう出せばいいのか、そんなことを考えているうちに、純正律と平均律の違いを出す本来の目的をすっかり忘れてしまった。全くもって正月早々、わけのわからないことをしている。
最初に書いた文は字の大小を含め本当に体裁をなしていなかった。多少はましにしたつもりだが、まだ意味不明の個所が多いのではないかと恐れる。
ミの音の周波数を計算する(2) ― 2019/01/09 23:10:43
log(1-x) = -x - x2/2 - x3/3 - …
しかし今回は常用対数なので底の変換をしなければならず、自然対数の底 e の扱いに困る。そこで、別の方法をとらないといけない。
log 99 を log100 だけでなく、log98も使って補間すればより精度が高まるだろう。しかし、98 = 2 * 7 * 7 なので log 7 がきちんと求められないといけない。log 7 は log 49 = 2log7 であることと、log50 = log 100 / 2 = 2 - log2 と log 48 = log (2*2*2*2*3) = 4 log2 + log3 を使った補間から得られる。しかし、有効数字4桁まで手計算で得られるかどうか、心許ない。手計算だけでやり抜こうとしたことには無理があったか。
ちなみに Google 先生に聞いたら、
log440 = 2.6435
であった。
＜ここからさきは誤りです＞
ミの音を知るためには次の式
440*√2
を計算しなければいけない。なんだ。log を求めずとも、√2 = 1.414 がわかるからすぐに出るじゃないか。我ながらどうかしているな。計算したら
622.16
という値が出た。５度上のミは、622.16Hzなんだ。
＜ここまで誤りです＞
posted by まりんきょ at 23:10| Comment(2) | 科学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
ミの音の周波数を計算する ― 2019/01/08 23:47:16
ラより５度高いミは、440(3/2)を計算すればよいが、平方根の計算がちと面倒だ。そこで、対数計算を使う。以下、対数は常用対数（底が10）とする。
log440はlog11+log40と分解される。log40は3log2+log5となる。log2=0.3010 を既知とすれば log5 は log5= log 10 - log2 = 0.6990 から計算できる。さて、log 11 はどうか。11*9=99 だから、log99≒log100=2 とlog11+2log3=log99≒2を使えば、log11≒2(1-*0.4771)=2*0.5229=1.0458だ。
もっとも、log99を2で近似するのはかなり強引で、本当ならば、log99 = log(100-1) = log100*(1-1/100)=2+log(1-1/100)として、第2項に関数 log(x + Δx) の x=1の周りのテイラー展開を使って近似値を求めるのが正しいのだろう。ちなみに、Googleにlog11で検索したら1.04139……とすぐに表示されてがっかりだ。この小数第４位までの正確な求め方とミ音の周波数の答は次回以降の宿題である。
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