まりんきょの音楽室

標準のラ（A)の音は、今は442ヘルツである。バイオリンのA線の開放弦の音でもある。さて、ラより完全五度高いミの音は何ヘルツだろうか。バイオリンのE線の開放弦の音だ。暗算で出せるか考えてみた。ちょっと考えて、ラの音は442ヘルツではなく、440ヘルツに下げる。理由は後述する。
ラより５度高いミは、440(3/2)を計算すればよいが、平方根の計算がちと面倒だ。そこで、対数計算を使う。以下、対数は常用対数（底が10）とする。
log440はlog11+log40と分解される。log40は3log2+log5となる。log2=0.3010 を既知とすれば log5 は log5= log 10 - log2 = 0.6990 から計算できる。さて、log 11 はどうか。11*9=99 だから、log99≒log100=2 とlog11+2log3=log99≒2を使えば、log11≒2(1-*0.4771)=2*0.5229=1.0458だ。
もっとも、log99を2で近似するのはかなり強引で、本当ならば、log99 = log(100-1) = log100*(1-1/100)=2+log(1-1/100)として、第2項に関数 log(x + Δx) の x=1の周りのテイラー展開を使って近似値を求めるのが正しいのだろう。ちなみに、Googleにlog11で検索したら1.04139……とすぐに表示されてがっかりだ。この小数第４位までの正確な求め方とミ音の周波数の答は次回以降の宿題である。